【黎曼函数可积吗】在数学分析中，黎曼函数（Riemann function）是一个非常重要的函数，尤其在研究函数的可积性时具有代表性。它常被用来作为反例或教学案例，帮助理解函数的连续性、可积性等性质。
黎曼函数通常定义如下：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{q}, & \text{如果 } x = \frac{p}{q} \text{ 是一个有理数（约分后）} \\
0, & \text{如果 } x \text{ 是无理数}
\end{cases}
$$
其中 $ p $ 和 $ q $ 是互质整数，$ q > 0 $。
黎曼函数是一个在实数区间上定义的函数，其在有理点取值为 $ \frac{1}{q} $，在无理点取值为 0。该函数在 [0,1] 区间上是黎曼可积的，尽管它在每个有理点处都不连续，但它的不连续点集合是可数的，因此满足黎曼积分的条件。
需要注意的是，虽然黎曼函数是黎曼可积的，但它并不是连续函数，也不是绝对连续函数。此外，它也不属于勒贝格可积函数中的“典型”例子，因为其不连续点虽可数，但分布密集。
黎曼函数可积性对比表：
| 特性 | 描述 |
| 定义域 | 实数区间 [0,1] |
| 函数值 | 有理数点：$ \frac{1}{q} $；无理数点：0 |
| 连续性 | 在有理点不连续；在无理点连续 |
| 不连续点数量 | 可数无限（所有有理数） |
| 黎曼可积性 | 可积（满足黎曼积分条件） |
| 勒贝格可积性 | 可积（因函数几乎处处为 0） |
| 是否连续函数 | 否 |
| 是否绝对连续函数 | 否 |
通过以上分析可以看出，黎曼函数虽然是一个“怪异”的函数，但它在数学分析中仍然具有重要的研究价值。它不仅展示了函数可积性的某些边界情况，也帮助我们更深入地理解黎曼积分与勒贝格积分之间的区别。