【n阶方阵的性质公式】在矩阵理论中，n阶方阵是一个由n行n列元素组成的方阵，广泛应用于线性代数、工程计算和计算机科学等领域。了解n阶方阵的性质与相关公式对于深入理解矩阵运算及其应用具有重要意义。以下是对n阶方阵主要性质的总结，并以表格形式展示其关键公式。
一、n阶方阵的基本性质
1. 行列式（Determinant）
行列式是n阶方阵的一个重要标量值，用于判断矩阵是否可逆。若行列式为零，则矩阵不可逆；否则，矩阵可逆。
2. 迹（Trace）
迹是n阶方阵主对角线上所有元素之和，常用于特征值分析。
3. 逆矩阵（Inverse Matrix）
若矩阵A的行列式不为零，则存在唯一逆矩阵A⁻¹，满足AA⁻¹ = I。
4. 特征值与特征向量
对于n阶方阵A，存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，其中λ为特征值，v为对应的特征向量。
5. 秩（Rank）
矩阵的秩是其行向量或列向量的最大线性无关组的个数，反映矩阵的“信息量”。
6. 转置矩阵（Transpose）
将矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作Aᵀ。
7. 对称矩阵与反对称矩阵
若A = Aᵀ，则A为对称矩阵；若A = -Aᵀ，则A为反对称矩阵。
8. 正交矩阵
若A的转置等于其逆矩阵（即Aᵀ = A⁻¹），则A为正交矩阵。
二、常用公式汇总
| 性质名称 | 公式表达 | 说明 |
| 行列式 | det(A) | 判断矩阵是否可逆 |
| 迹 | tr(A) = Σa_{ii} (i=1到n) | 主对角线元素之和 |
| 逆矩阵 | A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A) | adj(A)为伴随矩阵 |
| 特征方程 | det(A - λI) = 0 | 求解特征值 |
| 特征向量 | Av = λv | v ≠ 0 |
| 秩 | rank(A) | 最大线性无关行/列的数量 |
| 转置矩阵 | Aᵀ = [a_{ji}] | 行列互换 |
| 对称矩阵 | A = Aᵀ | 元素关于主对角线对称 |
| 反对称矩阵 | A = -Aᵀ | 元素关于主对角线反对称 |
| 正交矩阵 | AᵀA = I | 转置等于逆矩阵 |
三、总结
n阶方阵作为线性代数的核心对象，其性质与公式构成了矩阵理论的基础。掌握这些性质和公式有助于解决实际问题，如求解线性方程组、进行数据变换、分析系统稳定性等。通过表格形式的整理，可以更清晰地理解不同性质之间的关系及应用场景。
在实际使用中，应根据具体问题选择合适的矩阵性质与公式，灵活运用才能发挥矩阵的强大功能。