【常用傅里叶变换公式表】傅里叶变换是信号处理和数学分析中的重要工具，用于将时域信号转换为频域表示。通过傅里叶变换，可以更直观地分析信号的频率成分，广泛应用于通信、图像处理、音频分析等领域。以下是一些常用的傅里叶变换公式，以加表格的形式呈现，便于查阅和理解。
一、概述
傅里叶变换的基本思想是将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。根据不同的定义方式（如连续时间傅里叶变换、离散傅里叶变换等），其表达式略有不同。本文主要介绍连续时间傅里叶变换（CTFT）及其常用函数的变换对。
二、常用傅里叶变换公式表
| 函数 $ f(t) $ | 傅里叶变换 $ F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} $ |
| $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ |
| $ e^{j\omega_0 t} $ | $ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) $ |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}\left(\frac{\omega}{2}\right) $ |
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right) $ |
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ j\pi[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ |
| $ e^{-at}u(t), a > 0 $ | $ \frac{1}{a + j\omega} $ |
| $ \text{sgn}(t) $ | $ \frac{2}{j\omega} $ |
| $ u(t) $ | $ \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} $ |
三、说明与注意事项
1. 单位与符号：傅里叶变换有多种定义方式，如使用角频率 $ \omega $ 或频率 $ f $，以及是否包含归一化因子。本文采用的是标准的连续时间傅里叶变换形式，其中 $ \omega = 2\pi f $。
2. 冲激函数：$ \delta(t) $ 是单位冲激函数，其傅里叶变换为常数，表明它在所有频率上都有相同的能量分布。
3. 矩形函数与抽样函数：$ \text{rect}(t) $ 和 $ \text{sinc}(t) $ 是常见的对偶函数，它们的傅里叶变换互为对方的频域表示。
4. 指数函数与阶跃函数：指数衰减函数 $ e^{-at}u(t) $ 的傅里叶变换为有理函数，而单位阶跃函数 $ u(t) $ 的傅里叶变换包含冲激和奇异函数的组合。
四、总结
傅里叶变换是分析线性时不变系统的重要工具，掌握常见函数的变换对有助于快速进行信号分析和系统设计。上述表格提供了常用的傅里叶变换公式，适用于理论学习和工程实践。在实际应用中，还需结合具体问题选择合适的变换形式，并注意变换的定义域和收敛条件。