【求不定积分 int ( xarctanx)dx】在微积分的学习过程中，求解不定积分是一项重要的技能。其中，∫ x arctan x dx 是一个典型的需要使用分部积分法的题目。通过合理的变量选择和步骤推导，可以逐步求出该积分的表达式。
一、方法概述
对于函数 f(x) = x arctan x，我们可以通过分部积分法（Integration by Parts）来求其不定积分。分部积分公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
在本题中，我们选择：
- $ u = \arctan x $
- $ dv = x \, dx $
这样可以简化后续的积分计算。
二、分步计算过程
| 步骤 | 计算内容 | 说明 |
| 1 | $ u = \arctan x $, $ dv = x dx $ | 选择合适的 u 和 dv |
| 2 | $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $, $ v = \frac{1}{2}x^2 $ | 对 u 求导，对 dv 积分 |
| 3 | $ \int x \arctan x dx = \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{1 + x^2} dx $ | 应用分部积分公式 |
| 4 | $ = \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1 + x^2} dx $ | 简化积分表达式 |
| 5 | $ = \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}\right) dx $ | 将分子拆分为 $ x^2 = (1 + x^2) - 1 $ |
| 6 | $ = \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \frac{1}{2} \left[ x - \arctan x \right] + C $ | 分别积分并整理结果 |
三、最终答案
$$
\int x \arctan x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \arctan x + C
$$
四、总结表格
| 题目 | 求不定积分 ∫ x arctan x dx |
| 方法 | 分部积分法 |
| 关键步骤 | 选择 u = arctan x，dv = x dx；计算 du 和 v；应用公式进行积分 |
| 最终结果 | $ \frac{1}{2}x^2 \arctan x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \arctan x + C $ |
| 注意事项 | 在处理分式时需注意变形技巧，如将 $ \frac{x^2}{1 + x^2} $ 转换为 $ 1 - \frac{1}{1 + x^2} $ |
通过上述分析与计算，我们可以清晰地看到如何一步步求解 ∫ x arctan x dx 这类复合函数的不定积分问题。掌握分部积分法和代数变形技巧是解决这类问题的关键。
