【arctan的无穷小等于什么】在数学分析中，当自变量趋近于某个值时，函数的“无穷小”是指该函数值趋近于零的变化趋势。对于函数 $ y = \arctan(x) $，当 $ x \to 0 $ 时，$ \arctan(x) $ 的变化趋势可以用无穷小来描述。
本文将总结 $ \arctan(x) $ 在 $ x \to 0 $ 时的无穷小性质，并通过表格形式清晰展示其与常见函数的比较。
一、基础知识回顾
- 无穷小量：当 $ x \to a $ 时，若 $ f(x) \to 0 $，则称 $ f(x) $ 是一个关于 $ x \to a $ 的无穷小。
- 等价无穷小：若 $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 $，则称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是等价无穷小，记为 $ f(x) \sim g(x) $。
二、arctan(x) 在 x → 0 时的无穷小性质
当 $ x \to 0 $ 时，$ \arctan(x) $ 的泰勒展开式为：
$$
\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots
$$
因此，在 $ x \to 0 $ 时，可以近似认为：
$$
\arctan(x) \sim x
$$
即，当 $ x $ 接近 0 时，$ \arctan(x) $ 与 $ x $ 是等价无穷小。
三、与其他函数的比较（x → 0）
| 函数 | 无穷小表达式 | 等价无穷小 | 备注 |
| $ \sin(x) $ | $ x - \frac{x^3}{6} + \cdots $ | $ x $ | 与 $ \arctan(x) $ 等价 |
| $ \tan(x) $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \cdots $ | $ x $ | 与 $ \arctan(x) $ 等价 |
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \cdots $ | $ x $ | 与 $ \arctan(x) $ 等价 |
| $ e^x - 1 $ | $ x + \frac{x^2}{2} + \cdots $ | $ x $ | 与 $ \arctan(x) $ 等价 |
| $ \arctan(x) $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \cdots $ | $ x $ | 原函数，与 $ x $ 等价 |
四、结论
在 $ x \to 0 $ 的情况下，$ \arctan(x) $ 的无穷小行为可以近似表示为 $ x $，即：
$$
\arctan(x) \sim x
$$
这一结论在极限计算、泰勒展开以及近似估算中具有重要应用。通过与其它常见函数的对比可以看出，许多常见的三角函数和对数函数在 $ x \to 0 $ 时都表现出与 $ x $ 等价的无穷小特性。
如需进一步探讨高阶无穷小或更复杂的极限问题，可继续深入研究泰勒级数及其应用。