问向量平行垂直公式推导

【向量平行垂直公式推导】在向量运算中，判断两个向量是否平行或垂直是常见的问题。掌握相关的公式和推导方法，有助于更好地理解向量的几何意义与代数特性。以下是对向量平行与垂直关系的公式推导总结。

一、向量的基本概念

设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$，其中 $n$ 为向量的维度（通常为二维或三维）。

- 向量的模长：$\vec{a} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}$

- 向量的点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$

二、向量平行的条件

两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 平行，意味着它们方向相同或相反，即存在一个实数 $k$，使得：

$$

\vec{a} = k \vec{b}

$$

推导过程：

若 $\vec{a} = k \vec{b}$，则对应分量满足：

$$

a_1 = k b_1,\quad a_2 = k b_2,\quad \dots,\quad a_n = k b_n

$$

因此，可以得到比例关系：

$$

\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k

$$

当 $b_i \neq 0$ 时成立。

三、向量垂直的条件

两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 垂直，意味着它们的夹角为 $90^\circ$，根据点积的定义：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}\vec{b}\cos\theta

$$

当 $\theta = 90^\circ$ 时，$\cos\theta = 0$，所以有：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

$$

即：

$$

a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n = 0

$$

四、总结表格

五、应用示例

例1：判断向量 $\vec{a} = (2, 4)$ 与 $\vec{b} = (1, 2)$ 是否平行

$$

\frac{2}{1} = 2,\quad \frac{4}{2} = 2 \Rightarrow \text{平行}

$$

例2：判断向量 $\vec{a} = (3, -1)$ 与 $\vec{b} = (1, 3)$ 是否垂直

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 1 + (-1) \times 3 = 3 - 3 = 0 \Rightarrow \text{垂直}

$$

通过以上推导与公式总结，我们可以清晰地掌握向量平行与垂直的数学本质，并应用于实际问题中。