【幂级数展开式常用公式】在数学分析中，幂级数是一种重要的工具，广泛应用于函数的近似、求解微分方程以及数值计算等领域。通过对常见函数进行幂级数展开，可以更方便地进行函数的分析和计算。以下是一些常用的幂级数展开公式，便于查阅和应用。
一、基本概念回顾
幂级数是形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$ 的无穷级数，其中 $a_n$ 是系数，$x_0$ 是展开中心。若该级数在某个区间内收敛，则其和为一个解析函数，且可逐项求导或积分。
二、常用函数的幂级数展开公式
以下列出了一些常见的初等函数的泰勒级数（或麦克劳林级数）展开式，均以 $x = 0$ 为中心（即麦克劳林展开）。
| 函数 | 幂级数展开式 | 收敛半径 |
| $e^x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ | $\infty$ |
| $\sin x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $\infty$ |
| $\cos x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | $\infty$ |
| $\ln(1+x)$ | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$ | $1$ |
| $\arctan x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $1$ |
| $\arcsin x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ | $1$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ | $1$ |
| $\frac{1}{1+x}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ | $1$ |
| $(1+x)^k$（任意实数 $k$） | $\sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n$ | $1$ |
| $\tan x$ | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n} - 1) B_n}{(2n)!} x^{2n-1}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
三、说明与注意事项
1. 收敛性：每个幂级数都有其收敛半径，超出该范围时级数可能发散。
2. 展开点：上述公式均为在 $x=0$ 处的展开，若需在其他点展开，需使用泰勒级数形式。
3. 应用：幂级数常用于近似计算、函数分析、微分方程求解等。
4. 特殊函数：部分复杂函数（如 $\arcsin x$、$\tan x$）的展开式较为复杂，通常通过递推或特殊函数表示。
四、总结
幂级数展开是数学分析中的基础工具之一，掌握常用函数的展开式有助于提高计算效率和理解函数性质。以上表格提供了常见的幂级数展开公式及其收敛范围，适用于教学、科研及工程应用等多种场景。