切平面，就是曲面在某一点处的切平面，核心思路是求出曲面在该点的法向量，再利用点法式写出平面方程，这是高数多元微分里面的重点题型，最常考两种形式：隐式曲面 F(x,y,z)=0，显式曲面 z=f(x,y)。
✅ 公式核心
① 隐式曲面：F(x,y,z)=0，点 P0(x0,y0,z0)
法向量：
n=(Fx, Fy, Fz)(x0,y0,z0)
切平面方程（点法式）：
Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0
Fx 就是 F 对 x 求偏导，Fy对 y 求偏导，Fz对 z 求偏导，全部代入切点坐标计算。
② 显式曲面：z=f(x,y)，点 (x0,y0,z0)，其中 z0=f(x0,y0)
可以改写为 F(x,y,z)=f(x,y)−z=0
法向量：n=(fx, fy, −1)
切平面方程：
fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)−(z−z0)=0
✅ 标准解题步骤
- 确认曲面方程，确定切点 P0(x0,y0,z0)
- 分别求三个偏导数 Fx,Fy,Fz
- 把切点坐标代入偏导，得到法向量三个分量
- 代入点法式公式，展开化简，得到切平面方程
✅ 例题演示
求曲面 z=x2+y2 在点 (1,2,5) 处的切平面
解：f(x,y)=x2+y2
fx=2x, fy=2y
代入 (1,2)：fx=2, fy=4
切平面：
2(x−1)+4(y−2)−(z−5)=0
展开：2x+4y−z−5=0
✅ 补充：球面切平面特例
球面 x2+y2+z2=R2 在 (x0,y0,z0) 切平面：
x0x+y0y+z0z=R2
【常见问题】
问题 1 切平面方程怎么求，法向量为什么是偏导数组成？
回答 1 切平面方程怎么求，偏导数 Fx,Fy,Fz 就是曲面梯度向量，梯度垂直于曲面，也就是切平面的法向量，所以切平面方程怎么求就是利用梯度作为法向量代入点法式。
问题 2 切平面方程怎么求，如果是参数曲面呢？
回答 2 切平面方程怎么求，参数曲面是求两个切向量做叉乘得到法向量，再写切平面方程，比隐式曲面计算量大，考试主流还是隐式和显式曲面。
问题 3 切平面方程怎么求，求出之后还要做法线方程吗？
回答 3 切平面方程怎么求，很多题目会同时要求法线方程，法线就是沿着法向量方向，参数方程形式，和切平面是配套考点。
问题 4 切平面方程怎么求，代入点的时候 z0 要不要代入偏导？
回答 4 切平面方程怎么求，隐式曲面的 Fz 里面如果含有 z，必须把切点的 z0 一起代入，显式曲面 z=f(x,y) 的 fx,fy 只需要代入 x0,y0。
【免责申明】
本文内容仅作为高等数学知识点科普参考，不同教材符号书写略有差异，做题请以课堂要求为准，本文不构成考试押题。